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——“全科阅读”师生心得专栏（十一）

《笛卡儿几何》导读

高一数学 刘小妹

说起笛卡儿，我们不仅会想到哲学上的“我思故我在”，还会想到数学上的“解析几何”。1637年，笛卡儿发表了他的哲学名著《谈谈方法》，书后附有三个附录，分别涉及光学、气象学和几何学。其中第三个附录《几何》，篇幅不过百余页，却开创了一个全新的数学分支——解析几何。

然而，当我们翻开这本书时，却发现一件奇怪的事：书中既没有“解析几何”这个名词，也找不到“直角坐标系”的字样。那么，为什么说《笛卡儿几何》是解析几何的开山之作？笛卡儿究竟是如何创立解析几何的？

当你阅读本书第一卷中的“帕普斯问题”，答案便浮现出来。

帕普斯问题，是古希腊遗留的一个著名轨迹难题。简单地说：平面上给定若干条直线，从动点向各直线作距离，要求这些距离之间满足一定的乘积关系，问动点的轨迹是什么？例如，给定三条直线，,，从动点到它们的距离分别为，求满足的点的轨迹，这里的距离不一定是垂直距离，而是以一定角度的距离。这个问题始于欧几里得，由阿波罗尼奥斯加以推进，但没有哪一位能完全解决。

笛卡儿要彻底解决它。为此，他发明了一套全新的方法：

•         选择基准线——这是坐标轴的雏形；
•         设未知线段——这是坐标的雏形；
•         用未知量表达所有几何量——这就是坐标化。

有了这套方法，帕普斯问题中复杂的几何关系就被翻译成了代数方程。例如，三线、四线问题最终化为一个二次方程，而二次方程对应的正是圆锥曲线，这与阿波罗尼奥斯用纯几何得出三线、四线的结论一致，但笛卡儿的方法远比纯几何方法简洁、系统、可推广。而这套方法，正是解析几何的核心操作。

回看第一卷的结构，就会发现帕普斯问题是全卷的核心。前半部分都在为它做准备：引入单位线段，是为了扫除古希腊人的维度障碍，古人认为线段乘线段是面积、面积乘线段是体积，超过三维便无法想象，而笛卡儿规定了单位线段后，任意多个线段的乘积仍然是线段，维度束缚被彻底打破；实现算术运算的几何化，是为了提供运算基础，加减乘除、开方都可以用尺规作图完成。在此之上，笛卡儿完整展示了帕普斯问题的解法，并从中提炼出一般原理：满足几何条件的点的集合，恰好对应一个代数方程，这就是“方程与轨迹的对应”，解析几何最核心的思想。

帕普斯问题的影响不止于第一卷。在解决不同条数的帕普斯问题时，笛卡儿发现了一个深刻的规律：三线、四线问题对应二次方程，轨迹是圆锥曲线；五线、六线问题对应三次方程，涉及比圆锥曲线更复杂的曲线。这启发笛卡儿提出：曲线可以按方程的次数来分类，方程的次数反映了曲线的复杂程度。 于是，第二卷专门讨论曲线的性质与分类，研究切线、法线等问题；第三卷则探索高次方程的求解与几何作图，从而彻底解决帕普斯问题的一般情况。三卷层层递进：第一卷建立方法，第二卷应用方法，第三卷深化方法，而贯穿始终的线索，正是帕普斯问题。

由此可见，帕普斯问题是《笛卡儿几何》全书的结构核心和论证支柱。它不仅是笛卡儿展示新方法的载体，更是新方法威力的明证。个悬而未决一千多年的古老难题，被一套系统的、可推广的代数方法解决。书中虽无解析几何之名，却有解析几何之实；虽无直角坐标系之词，却有坐标化之法。

最后，提供几点阅读建议：

第一，重点阅读第一卷。第一卷包含了解析几何最核心的思想——单位线段、建系设元、方程与轨迹的对应。读透第一卷，就掌握了全书的精髓。第二卷、第三卷是第一卷的延伸和深化，可以根据兴趣选读。

第二，动笔阅读。笛卡儿的风格是“以少胜多”，推导常常省略中间步骤，这是17世纪数学著作的通例。阅读时建议准备纸笔，遇到跳步之处，自己补上推导、画出图形。这样做看似慢了，实则是最快的理解方式，你会在补推导的过程中，真正体会到笛卡儿方法的精妙。对于特别繁琐的推导，不必纠结，重在理解其中的思想。

第三，重复阅读。有的内容，读一遍两遍很难读懂，做好标记，和同学、老师探讨后，再回去重读。

《笛卡儿几何》是一本改变了数学面貌的书。它的价值不在于某个具体的公式或定理，而在于一种全新的思维方式：用代数的语言说几何的事。这种思维方式，至今仍是我们学习解析几何的基础。翻开这本书，你将回到解析几何的源头，亲眼见证一个伟大思想的诞生。